Statistiques et probabilités

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Probabilités conditionnelles

Non commencé

Définitions

La probabilité conditionnelle $P(A\mid B)$ mesure la chance que $A$ se produise sachant que $B$ est réalisé : $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ .

Deux événements sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ , ce qui équivaut à $P(A\mid B)=P(A)$ .

Pourquoi ça marche : une probabilité mesure une incertitude entre $0$ et $1$ . L’indépendance factorise les intersections ; l’espérance est la moyenne « pondérée par les probabilités ». Les stats résument une série (centre, dispersion).

Formules

$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad (P(B)>0)$
$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad (\text{indépendance})$
$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Exemples

Exemple 1

On lance un dé. Sachant que le résultat est pair, $P(\text{obtenir }6)$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Parmi $\{2,4,6\}$ , un seul $6$ : $P(6\mid\text{pair})=\frac{1}{3}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1}{3}$ .

Résultat

$\frac{1}{3}$

Exemple 2

Si $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ , $P(A\cap B)=0{,}2$ , calcule $P(A\cup B)$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Si $P(A)=0{,}5$ , $P(B)=0{,}4$ , $P(A\cap B)=0{,}2$ , calcule $P(A\cup B)$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \quad (P(B)>0)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $0{,}7$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$0{,}7$

À retenir

Statistiques

Non commencé

Définitions

En statistiques descriptives, la moyenne résume le centre d'une série ; la variance et l'écart-type mesurent la dispersion.

Pour une variable aléatoire discrète, l'espérance $E(X)$ est la moyenne pondérée par les probabilités ; $V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ .

Formules

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$
$V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2,\quad \sigma = \sqrt{V}$
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

Exemples

Exemple 1

La variance d'une série vaut $25$ . Quel est l'écart-type ?

Méthode

On lit l’énoncé : La variance d'une série vaut $25$ . Quel est l'écart-type ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $5$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$5$

Exemple 2

$X$ vaut $2$ avec proba $0{,}3$ et $5$ avec proba $0{,}7$ . Calcule $E(X)$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $E(X)=0{,}3\times 2 + 0{,}7\times 5 = 0{,}6+3{,}5=4{,}1$ .

Étape 3 : conclure avec $4{,}1$ .

Résultat

$4{,}1$