Fonctions exponentielle et logarithme

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Exponentielle

Non commencé

Définitions

La fonction exponentielle $x\mapsto\mathrm{e}^{x}$ est l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$ . Elle est définie sur $\mathbb{R}$ , strictement croissante, à valeurs dans $]0;+\infty[$ .

Règles : $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$ , $\mathrm{e}^{0}=1$ , $\mathrm{e}^{-x}=1/\mathrm{e}^{x}$ .

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$(\mathrm{e}^{x})' = \mathrm{e}^{x}$
$\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b}$
$\mathrm{e}^{0}=1,\quad \mathrm{e}^{x}>0$
$\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}=0$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\mathrm{e}^{0}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Par définition / propriété : $\mathrm{e}^{0}=1$ .

Étape 3 : conclure avec $1$ .

Résultat

$1$

Exemple 2

Simplifie $\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{2x}$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{x+2x}=\mathrm{e}^{3x}$ .

Étape 3 : conclure avec $\mathrm{e}^{3x}$ .

Résultat

$\mathrm{e}^{3x}$

À retenir

Logarithme

Non commencé

Définitions

Le logarithme népérien $\ln$ est la bijection réciproque de l'exponentielle : défini sur $]0;+\infty[$ , $\ln(\mathrm{e}^{x})=x$ et $\mathrm{e}^{\ln x}=x$ .

Propriétés : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln(a/b)=\ln a-\ln b$ , $(\ln x)'=1/x$ .

Formules

$\ln(\mathrm{e}^{x})=x,\quad \mathrm{e}^{\ln x}=x\ (x>0)$
$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
$\ln 1=0,\quad \ln\mathrm{e}=1$

Exemples

Exemple 1

Calcule $\ln(1)$ et $\ln(\mathrm{e})$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\ln 1=0$ car $\mathrm{e}^{0}=1$ ; $\ln\mathrm{e}=1$ car $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$ .

Étape 3 : conclure avec $0$ et $1$ .

Résultat

$0$ et $1$

Exemple 2

Simplifie $\ln a + \ln b$ ( $a,b>0$ ).

Méthode

On lit l’énoncé : Simplifie $\ln a + \ln b$ ( $a,b>0$ ). On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\ln(\mathrm{e}^{x})=x,\quad \mathrm{e}^{\ln x}=x\ (x>0)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $\ln(ab)$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$\ln(ab)$

À retenir

Équations

Non commencé

Définitions

Pour résoudre des équations avec $\mathrm{e}^{x}$ ou $\ln$ , on utilise la bijectivité : $\mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{B}\Leftrightarrow A=B$ et $\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B$ (si $A,B>0$ ).

On peut aussi poser $X=\mathrm{e}^{x}$ pour se ramener à une équation algébrique.

Pourquoi ça marche : une égalité reste vraie si l’on applique la même opération aux deux membres. Factoriser ou utiliser le discriminant transforme l’équation en produit / formule dont on lit les solutions.

Formules

$\mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{B}\Leftrightarrow A=B$
$\ln A=\ln B\Leftrightarrow A=B\ (A,B>0)$
$\ln x = a \Leftrightarrow x=\mathrm{e}^{a}$
$\mathrm{e}^{x}=a\ (a>0)\Leftrightarrow x=\ln a$

Exemples

Exemple 1

Résous $\mathrm{e}^{x}=1$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow x=0$ .

Étape 3 : conclure avec $x=0$ .

Résultat

$x=0$

Exemple 2

Résous $\ln x = 2$ .

Méthode

On lit l’énoncé : Résous $\ln x = 2$ . On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $\mathrm{e}^{A}=\mathrm{e}^{B}\Leftrightarrow A=B$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $x=\mathrm{e}^{2}$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$x=\mathrm{e}^{2}$