Fonctions exponentielle et logarithme

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Équations et inéquations

Non commencé

Définitions

Les équations et inéquations avec $\mathrm{e}^{x}$ et $\ln$ s'appuient sur la stricte croissance de ces fonctions. On conserve le sens des inégalités en appliquant $\mathrm{e}$ ou $\ln$ .

Attention au domaine : $\ln$ exige des arguments strictement positifs.

Pourquoi ça marche : une égalité reste vraie si l’on applique la même opération aux deux membres. Factoriser ou utiliser le discriminant transforme l’équation en produit / formule dont on lit les solutions.

Formules

$\mathrm{e}^{A}\le \mathrm{e}^{B}\Leftrightarrow A\le B$
$\ln A \le \ln B \Leftrightarrow A\le B\ (A,B>0)$
$\mathrm{e}^{x}>2 \Leftrightarrow x > \ln 2$
$\ln(x-1)\ge 0 \Leftrightarrow x\ge 2$

Exemples

Exemple 1

Résous $\mathrm{e}^{x}\leq 1$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\mathrm{e}^{x}\leq\mathrm{e}^{0}\Leftrightarrow x\leq 0$ .

Étape 3 : conclure avec $x\leq 0$ .

Résultat

$x\leq 0$

Exemple 2

Résous $\ln(x+2)>\ln 5$ .

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Croissance de $\ln$ et $x+2>0$ : $x+2>5$ et $x>-2$ ⇒ $x>3$ .

Étape 3 : conclure avec $x>3$ .

Résultat

$x>3$

À retenir

Croissance comparée

Non commencé

Définitions

La croissance comparée affirme que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, et que toute puissance l'emporte sur le logarithme, lorsque $x\to+\infty$ .

Ces résultats lèvent des formes indéterminées $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0\times\infty$ .

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty$
$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{a}}=0\ (a>0)$
$\lim_{x\to 0^+} x^{a}\ln x = 0\ (a>0)$
$\lim_{x\to+\infty} x^{n}\mathrm{e}^{-x}=0$

Exemples

Exemple 1

Limite de $\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}$ quand $x\to+\infty$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Croissance comparée : $\mathrm{e}^{x}$ domine $x^{2}$ ⇒ limite $+\infty$ .

Étape 3 : conclure avec $+\infty$ .

Résultat

$+\infty$

Exemple 2

Limite de $\frac{\ln x}{x}$ quand $x\to+\infty$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Le logarithme est négligeable devant $x$ : limite $0$ .

Étape 3 : conclure avec $0$ .

Résultat

$0$