Probabilités conditionnelles

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Indépendance

Non commencé

Définitions

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ . Pour des variables aléatoires indépendantes, $E(XY)=E(X)E(Y)$ et $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ .

À ne pas confondre : indépendance ≠ incompatibilité ( $A\cap B=\emptyset$ ).

Pourquoi ça marche : une probabilité mesure une incertitude entre $0$ et $1$ . L’indépendance factorise les intersections ; l’espérance est la moyenne « pondérée par les probabilités ». Les stats résument une série (centre, dispersion).

Formules

$A,B\text{ indépendants }\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)$
$\Leftrightarrow P(A\mid B)=P(A)$
$E(XY)=E(X)E(Y)\ \text{(si indépendantes)}$
$V(X+Y)=V(X)+V(Y)\ \text{(si indépendantes)}$

Exemples

Exemple 1

Deux dés équilibrés : $P(\text{double }6)$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Indépendance : $\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1}{36}$ .

Résultat

$\frac{1}{36}$

Exemple 2

$P(A)=0{,}3$ , $P(B)=0{,}5$ , indépendants. $P(A\cap B)$ ?

Méthode

On lit l’énoncé : $P(A)=0{,}3$ , $P(B)=0{,}5$ , indépendants. $P(A\cap B)$ ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $A,B\text{ indépendants }\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $0{,}15$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$0{,}15$

À retenir

Lois continues

Non commencé

Définitions

Une loi continue est décrite par une densité $f$ positive d'intégrale $1$ : $P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}f(t)\,dt$ .

La loi uniforme sur $[a;b]$ et la loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$ sont les modèles centraux du programme.

Pourquoi ça marche : une fonction associe à chaque $x$ (du domaine) au plus une image $f(x)$ . Étudier variations, dérivée ou limites, c’est décrire comment $f(x)$ évolue ; suites et exponentielle/logarithme sont des modèles privilégiés au lycée.

Formules

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$
$P(a\le X\le b)=\int_a^b f$
$X\sim\mathcal{U}([a;b]):\ f(t)=\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{[a;b]}(t)$
$X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$

Exemples

Exemple 1

Uniforme sur $[0;2]$ : $P(0\leq X\leq 1)$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : Densité $1/2$ : $\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{2}$ .

Étape 3 : conclure avec $\frac{1}{2}$ .

Résultat

$\frac{1}{2}$

Exemple 2

Densité $f(x)=2x$ sur $[0;1]$ : est-ce une densité ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $\int_{0}^{1}2x\,dx=[x^{2}]_{0}^{1}=1$ et $f\geq 0$ : oui.

Étape 3 : conclure avec Oui ( $\int f=1$ ).

Résultat

Oui ( $\int f=1$ )

À retenir

Espérance

Non commencé

Définitions

Pour une variable continue de densité $f$ , $E(X)=\int x f(x)\,dx$ . La variance reste $E(X^{2})-[E(X)]^{2}$ .

Lois usuelles : normale $E=\mu$ , $V=\sigma^{2}$ ; uniforme sur $[a;b]$ : $E=\frac{a+b}{2}$ , $V=\frac{(b-a)^{2}}{12}$ .

Pourquoi ça marche : diviser, c’est partager en parts égales (ou chercher combien de fois le diviseur « entre » dans le dividende). Le reste est ce qui reste une fois les parts complètes formées ; il est toujours plus petit que le diviseur.

Formules

$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$
$V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$
$X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})\Rightarrow E(X)=\mu,\ V(X)=\sigma^{2}$
$X\sim\mathcal{U}([a;b])\Rightarrow E(X)=\frac{a+b}{2}$

Exemples

Exemple 1

Uniforme sur $[0;4]$ : $E(X)$ et $V(X)$ ?

Méthode

Étape 1 : repérer les données.

Étape 2 : $E=\frac{0+4}{2}=2$ , $V=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}$ .

Étape 3 : conclure avec $E=2$ , $V=\frac{4}{3}$ .

Résultat

$E=2$ , $V=\frac{4}{3}$

Exemple 2

$X\sim\mathcal{N}(10;4)$ : espérance et écart-type ?

Méthode

On lit l’énoncé : $X\sim\mathcal{N}(10;4)$ : espérance et écart-type ? On mobilise la relation utile de la fiche (notamment $E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx$ ). On calcule soigneusement jusqu’à $E=10$ , $\sigma=2$ , puis on vérifie l’ordre de grandeur.

Résultat

$E=10$ , $\sigma=2$