Intégration

Fiches de cours et sous-notions liées à ce chapitre.

Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Intégrales

Non commencé

Définitions

Soit $f$ continue sur $[a,b]$ . L'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est définie comme la limite des sommes de Riemann ou, via le théorème fondamental, $F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$ . Propriétés : linéarité, relation de Chasles $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ , positivité si $f \geq 0$ , inégalité triangulaire $|\int_a^b f| \leq \int_a^b |f|$ .

L'intégration par parties et le changement de variable sont les outils principaux de calcul.

Pour $f$ continue sur $[a,b]$ , $\int_a^b f = F(b)-F(a)$ où $F'=f$ . Propriétés : linéarité, Chasles, positivité, $|\int f|\leq\int|f|$ .

Outils de calcul : intégration par parties et changement de variable.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\int_a^b f = F(b) - F(a) \quad \text{si } F' = f$
$\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$
$\int_a^b f \, g' = [fg]_a^b - \int_a^b f' g \quad \text{(IPP)}$
$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t)\,dt \quad \text{(changement } x=\varphi(t)\text{)}$

Exemples

Exemple 1

Calculer $\int_0^1 e^x\,dx$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Primitive $e^x$ : $[e^x]_0^1 = e-1$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\int_0^1 e^x\,dx = e-1$ .

Exemple 2

Calculer $\int_0^1 x e^x\,dx$ par IPP.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Poser $u=x$ , $v'=e^x$ : $[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e-(e-1)=1$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\int_0^1 x e^x\,dx = 1$ .

À retenir

Primitives

Non commencé

Définitions

Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ telle que $F' = f$ . Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F + C$ . On note parfois $\int f(x)\,dx$ une primitive (indéfinie). Tableau des primitives usuelles : $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ( $n \neq -1$ ), $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$ , $\int e^x\,dx = e^x+C$ , $\int \cos x\,dx = \sin x+C$ , $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ .

Existence : toute fonction continue admet une primitive (théorème fondamental de l'analyse).

Une primitive de $f$ sur un intervalle est $F$ telle que $F'=f$ . Elles diffèrent d'une constante. Toute fonction continue admet une primitive.

Primitives usuelles : $x^\alpha$ ( $\alpha\neq -1$ ), $\frac{1}{x}$ , $e^x$ , $\cos$ , $\sin$ , $\frac{1}{1+x^2}=\arctan$ .

Formules

$F' = f \Rightarrow \int_a^b f = F(b) - F(a)$
$\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C \quad (\alpha \neq -1)$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C \quad ; \quad \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$
$\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C$

Exemples

Exemple 1

Primitive de $\frac{1}{1+x^2}$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Reconnaître la dérivée de $\arctan$ : $F(x)=\arctan x + C$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ .

Exemple 2

Primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0,+\infty[$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\int x^{-1/2}\,dx = 2x^{1/2}+C$ . Vérification : dérivée $=\frac{1}{\sqrt{x}}$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x}+C$ .

À retenir

Techniques

Non commencé

Définitions

Les techniques d'intégration en MPSI incluent : reconnaissance de dérivées composées ( $\int f'(x)g(f(x))\,dx$ ), changement de variable (linéaire ou bijectif), intégration par parties (choisir $u$ qui se simplifie en dérivant, $v'$ facilement primitivable), décomposition en éléments simples pour les fractions rationnelles, linéarisation trigonométrique ( $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ ).

Pour $\int x e^{x^2}\,dx$ , poser $u = x^2$ . Pour $\int \ln x\,dx$ , IPP avec $u = \ln x$ , $v' = 1$ .

Techniques MPSI : dérivée composée ( $\int f' g\circ f$ ), changement de variable, IPP, éléments simples, linéarisation trigo ( $\sin^2=\frac{1-\cos 2x}{2}$ ).

Choisir la méthode : $x e^{x^2}$ → $u=x^2$ ; $\ln x$ → IPP ; fraction rationnelle → décomposition.

Formules

$\int f'(x) e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C$
$\int u'v = uv - \int uv' \quad \text{(IPP)}$
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \quad ; \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
$\frac{1}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x-b}\right)$

Exemples

Exemple 1

Calculer $\int x e^{x^2}\,dx$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Poser $u=x^2$ , $du=2x\,dx$ : $\frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2}+C$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\frac{1}{2}e^{x^2}+C$ .

Exemple 2

Calculer $\int \sin^2 x\,dx$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Linéariser : $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ , puis intégrer terme à terme. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$ .