Intégration et dérivation

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Intégrales généralisées

Non commencé

Définitions

Une intégrale généralisée (impropre) est $\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x)\,dx$ si la limite existe. Idem en $a^+$ si $f$ non bornée en $a$ . Critère de Riemann en $+\infty$ : $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\,dx$ CV ssi $\alpha > 1$ .

Critère en $0^+$ : $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}\,dx$ CV ssi $\alpha < 1$ . Comparaison : $0 \leq f \leq g$ et $\int g$ CV $\Rightarrow$ $\int f$ CV. L'intégrale de Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$ est fondamentale en probabilités.

Intégrale généralisée : $\int_a^{+\infty}f=\lim_{A\to+\infty}\int_a^A f$ . Riemann en $+\infty$ : $\int_1^\infty x^{-\alpha}$ CV ssi $\alpha>1$ ; en $0^+$ : CV ssi $\alpha<1$ .

Gauss : $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$ .

Formules

$\int_a^{+\infty} f = \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\,dx \text{ CV } \Leftrightarrow \alpha > 1$
$\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}\,dx \text{ CV } \Leftrightarrow \alpha < 1$
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi} \quad ; \quad \int_0^{+\infty} e^{-x}\,dx = 1$

Exemples

Exemple 1

Nature de $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $[-1/x]_1^{+\infty}=1$ : convergente ( $\alpha=2>1$ ). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

CV, valeur $1$ .

Exemple 2

Nature de $\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $[2\sqrt{x}]_0^1=2$ : CV ( $\alpha=1/2<1$ ). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

CV, valeur $2$ .

À retenir

Dérivation sous le signe somme

Non commencé

Définitions

Pour une suite de fonctions $(f_n)$ , on étudie la convergence simple ( $f_n(x) \to f(x)$ pour chaque $x$ ) et uniforme ( $\sup_x |f_n(x)-f(x)| \to 0$ ). Théorème : limite uniforme de fonctions continues = continue. Pour les séries $\sum f_n(x)$ , convergence normale ( $\sum \sup|f_n| < +\infty$ ) $\Rightarrow$ convergence uniforme $\Rightarrow$ on peut intégrer terme à terme et dériver sous le signe somme (avec hypothèses de dérivabilité).

Théorème de convergence dominée (Lebesgue, admis en MP) : si $f_n \to f$ p.s. et $|f_n| \leq g$ intégrable, alors $\int f_n \to \int f$ .

Convergence simple vs uniforme ( $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ ). Limite uniforme de continues = continue. CV normale $\Rightarrow$ uniforme.

Sous hypothèses, on intègre/dérive terme à terme. Convergence dominée (Lebesgue, admis).

Formules

$f_n \to f \text{ uniformément } \Leftrightarrow \|f_n - f\|_\infty \to 0$
$\sum \|f_n\|_\infty < +\infty \Rightarrow \sum f_n \text{ CV normalement}$
$\text{CV uniforme + } f_n \text{ continues } \Rightarrow f \text{ continue}$
$\frac{d}{dx}\sum f_n = \sum f_n' \quad \text{(sous hyp. CV uniforme des dérivées)}$

Exemples

Exemple 1

$f_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$ : CV uniforme ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) CV simple vers $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$ . Limite discontinue : CV non uniforme. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Non uniforme.

Exemple 2

Série $\sum\frac{x^n}{n!}$ sur un compact.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) CV normale sur tout compact ( $\sum\|f_n\|_\infty<\infty$ ) : on peut dériver terme à terme. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

CV normale sur tout compact ; somme $e^x$ .