Espaces euclidiens

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Orthogonalité

Non commencé

Définitions

Un espace euclidien est un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ (bilinéaire symétrique défini positif). On a l'inégalité de Cauchy-Schwarz $|\langle u,v \rangle| \leq \|u\|\,\|v\|$ et l'égalité $\|u\|^2 = \langle u,u \rangle$ .

Deux vecteurs sont orthogonaux si $\langle u,v \rangle = 0$ . Une famille orthonormée $(e_i)$ vérifie $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$ ; elle est libre. Le procédé de Gram-Schmidt orthonormalise une famille libre. Pour un SEV $F$ , $F^\perp = \{x : \forall y \in F, \langle x,y \rangle = 0\}$ est un supplémentaire orthogonal : $E = F \oplus F^\perp$ , $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ .

Espace euclidien : EV dim finie + produit scalaire. Cauchy-Schwarz : $|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\|v\|$ . Orthogonalité : $\langle u,v\rangle=0$ .

Gram-Schmidt orthonormalise. $E=F\oplus F^\perp$ .

Formules

$|\langle u,v \rangle| \leq \|u\|\,\|v\| \quad \text{(Cauchy-Schwarz)}$
$\|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2 \quad \text{si } u \perp v$
$\dim F + \dim F^\perp = \dim E$
$\text{Gram-Schmidt : } e_k' = v_k - \sum_{i<k} \langle v_k, e_i \rangle e_i$

Exemples

Exemple 1

Base canonique de $\mathbb{R}^3$ : orthonormée ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$ : oui. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Base orthonormée.

Exemple 2

$F=\mathrm{Vect}((1,0,0))$ dans $\mathbb{R}^3$ : $F^\perp$ ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $F^\perp=\{(0,y,z)\}$ , dimension $2$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$F^\perp=\mathrm{Vect}(e_2,e_3)$ .

À retenir

Projection

Non commencé

Définitions

La projection orthogonale sur un SEV $F$ est l'unique endomorphisme $p$ tel que $p^2 = p$ , $\ker p = F^\perp$ , $\mathrm{Im}\, p = F$ , et $p$ est self-adjoint ( $\langle p(u), v \rangle = \langle u, p(v) \rangle$ ). Pour $x \in E$ , $p(x)$ est le unique vecteur de $F$ minimisant $\|x - y\|$ pour $y \in F$ .

Formule : si $(e_1,\ldots,e_k)$ base ON de $F$ , alors $p(x) = \sum_{i=1}^k \langle x, e_i \rangle e_i$ . La symétrie orthogonale par rapport à $F$ est $s = 2p - \mathrm{Id}$ : isométrie, involutive, $\ker(s - \mathrm{Id}) = F$ .

Projection orthogonale $p$ sur $F$ : $p^2=p$ , $\mathrm{Im}=F$ , $\ker=F^\perp$ , autoadjointe. $p(x)$ minimise $\|x-y\|$ pour $y\in F$ .

Symétrie orthogonale $s=2p-\mathrm{Id}$ . Formule ON : $p(x)=\sum\langle x,e_i\rangle e_i$ .

Formules

$p^2 = p \quad ; \quad E = F \oplus F^\perp \quad ; \quad p|_{F^\perp} = 0$
$p(x) = \arg\min_{y \in F} \|x - y\|$
$s = 2p - \mathrm{Id} \quad \text{(symétrie orthogonale)}$
$\|x\|^2 = \|p(x)\|^2 + \|x - p(x)\|^2$

Exemples

Exemple 1

Projection sur $\mathrm{Vect}((1,0))$ dans $\mathbb{R}^2$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $p(x,y)=(x,0)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$p(x,y)=(x,0)$ .

Exemple 2

Symétrie par rapport à $Ox$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $s(x,y)=(x,-y)$ : $s=2p-\mathrm{Id}$ avec $p(x,y)=(x,0)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$(x,y)\mapsto(x,-y)$ .

À retenir

Endomorphismes orthogonaux

Non commencé

Définitions

Une isométrie (endomorphisme orthogonal) $f$ d'un espace euclidien vérifie $\|f(u)\| = \|u\|$ pour tout $u$ , ou équivalent $\langle f(u), f(v) \rangle = \langle u,v \rangle$ . Alors $f$ est bijectif et $f^{-1} = f^*$ (adjoint).

$\det f = \pm 1$ . Isométrie directe (rotation) : $\det = 1$ ; indirecte (symétrie) : $\det = -1$ . Dans $\mathbb{R}^2$ , toute isométrie directe est une rotation $R_\theta$ ; toute indirecte est une réflexion. Matrice orthogonale : $M^T M = I_n$ . Endomorphisme symétrique : $\langle u(u), v \rangle = \langle u, u(v) \rangle$ ; diagonalisable dans une BON.

Isométrie : $\|f(u)\|=\|u\|$ $\Leftrightarrow$ préserve le produit scalaire. $\det=\pm 1$ . Matrice orthogonale : $M^TM=I$ .

Endomorphisme symétrique réel : diagonalisable dans une BON, vp réelles.

Formules

$\|f(u)\| = \|u\| \Leftrightarrow f \text{ isométrie}$
$\det f \in \{-1, 1\}$
$M^T M = I_n \Leftrightarrow M \text{ orthogonale}$
$\text{Symétrique réel } \Rightarrow \text{ diagonalisable, vp réelles}$

Exemples

Exemple 1

Matrice de rotation d'angle $\theta$ dans $\mathbb{R}^2$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ , $\det=1$ : isométrie directe. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Rotation = isométrie directe.

Exemple 2

Matrice $\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$ : diagonalisable ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Symétrique réelle $\Rightarrow$ vp réelles, diagonalisable dans une BON. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Oui (symétrique réelle).