Probabilités

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Convergence de suites de variables

Non commencé

Définitions

On dit que $(X_n)$ converge en probabilité vers $X$ si $\forall \varepsilon > 0, P(|X_n - X| > \varepsilon) \to 0$ . Convergence presque sûre (p.s.) : $P(\{\omega : X_n(\omega) \to X(\omega)\}) = 1$ . p.s. $\Rightarrow$ en probabilité.

Convergence en loi : $F_{X_n}(x) \to F_X(x)$ en tout point de continuité de $F_X$ . Loi faible des grands nombres (LFGN) : si $(X_i)$ i.i.d. avec $E[X_1]=\mu$ , alors $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum X_i \xrightarrow{P} \mu$ . Théorème central limite (TCL) : $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$ .

CV en probabilité, p.s., en loi. p.s. $\Rightarrow$ proba. LFGN : $\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$ . TCL : $\sqrt{n}(\bar X_n-\mu)/\sigma\xrightarrow{\mathcal L}\mathcal N(0,1)$ .

Chebyshev : $P(|\bar X_n-\mu|>\varepsilon)\leq\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ .

Formules

$X_n \xrightarrow{P} X \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, P(|X_n - X| > \varepsilon) \to 0$
$\text{p.s. } \Rightarrow \text{ en probabilité}$
$\text{LFGN : } \bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu$
$\text{TCL : } \frac{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}{\sigma} \xrightarrow{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1)$

Exemples

Exemple 1

Moyenne de dés i.i.d. : limite ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) LFGN : $\bar X_n\to\frac{7}{2}$ en probabilité ( $E[X]=3{,}5$ ). (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\bar X_n\xrightarrow{P}\frac{7}{2}$ .

Exemple 2

Approximation TCL de $\bar X_n$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Pour $n$ grand : $\bar X_n\approx\mathcal N(\mu,\sigma^2/n)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$\bar X_n\approx\mathcal N(\mu,\sigma^2/n)$ .

À retenir

Lois

Non commencé

Définitions

Une variable aléatoire réelle $X$ est caractérisée par sa loi (fonction de répartition $F_X(x) = P(X \leq x)$ ) ou sa densité $f_X$ si absolument continue. Lois classiques en MP : Bernoulli, binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ , Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ , uniforme, exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ de densité $\lambda e^{-\lambda x}\mathbf{1}_{x \geq 0}$ , gaussienne $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ .

Espérance $E[X] = \int x f(x)\,dx$ ; variance $\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$ . Si $X$ , $Y$ indépendantes : $E[XY] = E[X]E[Y]$ , $\mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$ .

Loi via $F_X$ ou densité $f_X$ . Lois classiques : Bernoulli, binomiale, Poisson, uniforme, exponentielle, gaussienne.

$E[X]$ , $\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2$ . Indépendance : $E[XY]=E[X]E[Y]$ , variances s'ajoutent.

Formules

$E[X] = \int_{\mathbb{R}} x f(x)\,dx \quad ; \quad \mathrm{Var}(X) = E[(X-E[X])^2]$
$\mathcal{E}(\lambda) : f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{x \geq 0},\ E[X] = \frac{1}{\lambda}$
$\mathcal{N}(\mu, \sigma^2) : E[X] = \mu,\ \mathrm{Var}(X) = \sigma^2$
$X, Y \text{ indép. } \Rightarrow \mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y)$

Exemples

Exemple 1

$X\sim\mathcal E(2)$ : espérance et variance.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $E[X]=1/\lambda=1/2$ , $\mathrm{Var}=1/\lambda^2=1/4$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$E=1/2$ , $\mathrm{Var}=1/4$ .

Exemple 2

$\mathrm{Var}(aX+b)$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

$a^2\mathrm{Var}(X)$ .