Topologie

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Pas assez de questions pour un entraînement ciblé sur cette notion.

Espaces topologiques

Non commencé

Définitions

Espace topologique $(X, \mathcal{T})$ : $\mathcal{T}$ stable par union quelconque, intersection finie, contient $\emptyset, X$ . Ouvert, fermé, adhérence, intérieur. Continuité : $f^{-1}(U)$ ouvert pour $U$ ouvert. Séparation ( $T_0$ , $T_1$ , Hausdorff $T_2$ : points distincts ont voisinages disjoints).

Métrique induit topologie : $d(x,y) < r$ . Homéomorphisme : bijection continue réciproque continue. Sous-espace, produit, quotient topologiques.

Espace topologique : ouverts axiomatiques. Continuité, voisinages, séparation (Hausdorff). Métrisable $\Rightarrow$ topologie d'une distance.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$\bigcup_{i \in I} U_i \in \mathcal{T} \quad ; \quad \bigcap_{k=1}^n U_k \in \mathcal{T}$
$f \text{ continue } \Leftrightarrow f^{-1}(U) \text{ ouvert pour tout ouvert } U$
$\overline{A} = \bigcap \{F : A \subset F, F \text{ fermé}\}$
$U \subset X \text{ ouvert } \Leftrightarrow \forall x \in U,\ \exists r, B(x,r) \subset U \text{ (métrique)}$

Exemples

Exemple 1

Topologie usuelle de $\mathbb R$ .

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Ouverts = réunions d'intervalles ouverts : métrique $|\cdot|$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Topologie métrique standard.

Exemple 2

Hausdorff.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Deux points distincts séparés par ouverts disjoints ; métrique $\Rightarrow$ Hausdorff. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Espaces métriques sont Hausdorff.

À retenir

Compacité

Non commencé

Définitions

Compact : tout recouvrement ouvert admet sous-recouvrement fini. Équivalent en métrique séparée : fermé + borné (Heine-Borel $\mathbb{R}^n$ ). Compact $\Rightarrow$ fermé (séparé) ; image continue compacte = compact. Séquentiellement compact (métrique) : suite admet sous-suite convergente.

Théorème de Tychonoff : produit compacts compact. Utilisation : existence extrema, théorèmes fixed point (Brouwer sur boule compacte).

Compacité topologique : tout recouvrement ouvert a un sous-recouvrement fini. Dans $\mathbb R^n$ : fermé borné. Image continue d'un compact = compact.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$K \text{ compact } \Leftrightarrow \text{ tout recouv. ouvert a sous-recouv. fini}$
$K \subset \mathbb{R}^n \text{ fermé borné } \Leftrightarrow K \text{ compact}$
$f : K \to Y \text{ continue, } K \text{ compact } \Rightarrow f(K) \text{ compact}$
$\prod_{i \in I} K_i \text{ compact (Tychonoff)}$

Exemples

Exemple 1

Heine-Borel.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $K\subset\mathbb R^n$ compact $\Leftrightarrow$ fermé borné. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Heine-Borel.

Exemple 2

Extrema.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $f$ continue sur compact à valeurs réelles : atteint min et max. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Extrema atteints.

À retenir

Connexité

Non commencé

Définitions

Connexe : impossible partitionner en deux ouverts non vides. Composante connexe = plus grand connexe contenant un point. Path-connexe : tout couple points relié par chemin continu. Path-connexe $\Rightarrow$ connexe (réciproque fausse en général).

Arc-connexe (Hausdorff) : chemin injectif. Applications : théorème domaine connexe (fonction holomorphe), degrés topologiques. $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ path-connexe pour $n \geq 2$ .

Connexité : impossible d'écrire $X=U\cup V$ ouverts disjoints non vides. Intervalles de $\mathbb R$ = connexes. Image continue d'un connexe = connexe (TVI généralisé).

Connexité par arcs $\Rightarrow$ connexité.

Pourquoi c’est central : cette notion structure les preuves et calculs du programme ; maîtriser définitions et hypothèses évite les applications hors cadre.

Formules

$X \text{ connexe } \Leftrightarrow \neg\exists U,V \text{ ouverts disjoints non vides, } X = U \sqcup V$
$f : X \to Y \text{ continue, } X \text{ connexe } \Rightarrow f(X) \text{ connexe}$
$\text{Path-connexe } \Rightarrow \text{ connexe}$
$\mathbb{R}^n \setminus \{0\} \text{ path-connexe } (n \geq 2)$

Exemples

Exemple 1

$\mathbb R\setminus\{0\}$ connexe ?

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) Non : $]{-}\infty,0[\cup]0,+\infty[$ . (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

Non connexe.

Exemple 2

TVI via connexité.

Méthode

(1) Lire l'énoncé et repérer les hypothèses / la forme utile. (2) $f([a,b])$ connexe dans $\mathbb R$ = intervalle : contient toutes valeurs intermédiaires. (3) Vérifier le résultat (ordre de grandeur, cas particulier, ou dérivation/substitution).

Résultat

TVI = connexité de l'image.